Improved model derivations

Surface profile asperity peak height Distributions, Real(blue), Orange(Hamasaiid)

Quit[]

Show[ Plot[{(((E^(-((((y))^2)/(2(((σ))^2))))) )/((Sqrt[2 π]) σ))/.σ-> 0.1,2(((E^(-((((y))^2)/(2 (σ^2))))) )/((Sqrt[2 π]) σ))/.σ-> 0.1},{y,0,1},PlotRange->All]]

Real distribution

Quit[]

Height distribution (Subscript[ϕ, 0])(y)

(Subscript[ϕ, 0])=(((E^(-((((y))^2)/(2((((Subscript[σ, 0])))^2))))) )/((Sqrt[2 π]) (Subscript[σ, 0])))

Arithmetic average of absolute height deviation, (Subscript[R, 0])

(Subscript[R, 0])=Simplify[Integrate[(Subscript[ϕ, 0])*Abs[y],{y,-Infinity,Infinity}],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Mean (Subscript[μ, 0])

(Subscript[μ, 0])=0

Standard deviation  (Subscript[σ, 0])

(Subscript[σ, 0])=Simplify[Sqrt[Integrate[(Subscript[ϕ, 0])*(y-(Subscript[μ, 0]))^2,{y,-Infinity,Infinity}]],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Surface area of bases of valleys/peaks + gaps, (Subscript[A, 0]), given by number of valleys/peaks, (Subscript[N, 0]),  height distribution (Subscript[ϕ, 0]),  and valley/peak slope (Subscript[m, 0])

(Subscript[A, 0])=Simplify[ϵ*(Subscript[N, 0])*2*(Integrate[(Subscript[ϕ, 0])*Pi*(y/(Subscript[m, 0]))^2,{y,0,Infinity}]),{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Density of peaks/valleys over surface area, (Subscript[n, 0])

(Subscript[n, 0])=(Subscript[N, 0])/(Subscript[A, 0])

Average diameter of circular base, (Subscript[B, 0])

(Subscript[B, 0])=2/(Subscript[m, 0])*Simplify[Integrate[(Subscript[ϕ, 0])*Abs[y],{y,-Infinity,Infinity}],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Slope, (Subscript[m, 0]), given by mean peak spacing  (Subscript[L, 0]) = (Subscript[B, 0])

Solve[(Subscript[L, 0])==((2 (Sqrt[(2/π)]) (Subscript[σ, 0]))/(Subscript[m, 0])),(Subscript[m, 0])]

Hamasaiid distribution

Quit[]

Height distribution (Subscript[ϕ, 1])(y)

(Subscript[ϕ, 1])=2(((E^(-((((y))^2)/(2((((Subscript[σ, 0])))^2))))) )/((Sqrt[2 π]) (Subscript[σ, 0])))

Arithmetic average of absolute height deviation, (Subscript[R, 1])

(Subscript[R, 1])=Simplify[Integrate[(Subscript[ϕ, 1])*y,{y,0,Infinity}],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Mean, (Subscript[μ, 1])

(Subscript[μ, 1])=(Subscript[R, 1])

Standard deviation from mean (Subscript[μ, 1]), (Subscript[σ, 1])

(Subscript[σ, 1])=Simplify[Sqrt[Integrate[(Subscript[ϕ, 1])*(y-(Subscript[μ, 1]))^2,{y,0,Infinity}]],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Surface area of bases of peaks + gaps, (Subscript[A, 1]), given by number of valleys and peaks, (Subscript[N, 1]),  height distribution (Subscript[ϕ, 1]),  and peak slope (Subscript[m, 1])

(Subscript[A, 1])=Simplify[ϵ*(Subscript[N, 1])*(Integrate[(Subscript[ϕ, 1])*Pi*(y/(Subscript[m, 1]))^2,{y,0,Infinity}]),{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Density of peaks over surface area, (Subscript[n, 1])

(Subscript[n, 1])=(Subscript[N, 1])/(Subscript[A, 1])

Average diameter of circular base, (Subscript[B, 1])

(Subscript[B, 1])=2/(Subscript[m, 1])*Simplify[Integrate[(Subscript[ϕ, 1])*y,{y,0,Infinity}],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Slope, (Subscript[m, 1]), given by mean peak spacing, (Subscript[L, 0])

Solve[(Subscript[L, 0])==((2(Sqrt[(2/π)]) (Subscript[σ, 0]))/(Subscript[m, 1])),{(Subscript[m, 1])}]

(Subscript[m, 1])=((2(Sqrt[(2/π)]) (Subscript[σ, 0]))/(Subscript[L, 0]))

Updated (Subscript[n, 1])

(Subscript[n, 1])

Density of microcontact spots, (Subscript[n, s,1])

(Subscript[n, s,1])=(Subscript[n, 1])*Simplify[Integrate[(Subscript[ϕ, 1]),{y,Y,Infinity}],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Average projected radius of contact area, (Subscript[a, s,1]), which exceeds entrapped air thickness, Y

(Subscript[a, s,1])=Simplify[Integrate[(y-Y)/(Subscript[m, 1])*(Subscript[ϕ, 1]),{y,Y,Infinity}],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Average radius of circular base, (Subscript[b, s])

(Subscript[b, s])=(Subscript[L, 0])/2

Plot Abbott-Firestone curve, (Subscript[L, 0])=128e-6, (Subscript[σ, 0])=0.58e-6,ϵ=1.5

Quit[]

Measured Abott-firestone by Hamasaiid et al.

data = {{0,1.8463428571428571`*^-6},{0.01109350237717907`,1.6251428571428572`*^-6},{0.026941362916006323`,1.471657142857143`*^-6},{0.053882725832012646`,1.309142857142857`*^-6},{0.08716323296354991`,1.182742857142857`*^-6},{0.12678288431061804`,1.0608571428571428`*^-6},{0.16640253565768623`,9.660571428571426`*^-7},{0.20919175911251978`,8.848`*^-7},{0.2488114104595879`,8.215999999999999`*^-7},{0.3090332805071315`,7.403428571428573`*^-7},{0.38193343898573695`,6.500571428571428`*^-7},{0.4548335974643424`,5.507428571428572`*^-7},{0.5309033280507132`,4.6045714285714254`*^-7},{0.6307448494453249`,3.2954285714285667`*^-7},{0.7036450079239303`,2.3925714285714286`*^-7},{0.7876386687797148`,1.3994285714285725`*^-7},{0.8478605388272582`,6.320000000000009`*^-8},{0.9033280507131537`,1.8057142857142762`*^-8},{0.96513470681458`,0}};

Helper function to transpose x and y axi

axisFlip=#/.{x_Line|x_GraphicsComplex:>MapAt[#~Reverse~2&,x,1],x:(PlotRange->_):>x~Reverse~2}&;

Modeled (Subscript[a, s])/(Subscript[b, s])

abfs=Plot[(1/2) (2 (E^(-((Y^2)/(2 (Subscript[σ, 0]^2)))))+(((Sqrt[2 π]) Y (-1+Erf[(Y/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0])))]))/(Subscript[σ, 0])))/.{(Subscript[σ, 0])->0.578*^-6, (Subscript[L, 0])-> 128.5*^-6},{Y,0,1.5*^-6}, PlotStyle-> Red] // axisFlip

Measured Abbott firestone(Red) vs model (Blue)

Show[ListLinePlot[data],abfs]

Plot HTC(y)

Quit[]

Initialize values for (Subscript[a, s,2]) , (Subscript[n, s,2]) , (Subscript[a, s,1]) , (Subscript[n, s,1])

(Subscript[a, s,1])=(1/4) (Subscript[L, 0]) (2 (E^(-((Y^2)/(2 (Subscript[σ, 0]^2)))))+(((Sqrt[2 π]) Y (-1+Erf[(Y/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0])))]))/(Subscript[σ, 0])));
(Subscript[n, s,1])=((8 Erfc[(Y/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0])))])/((π^2) ϵ (Subscript[L, 0]^2)));

(Subscript[b, s])=(Subscript[L, 0])/2;

Effective heat transfer coefficient (Subscript[λ, s])

(Subscript[λ, s])=2*(Subscript[λ, 1])*(Subscript[λ, 2])/((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2]))

Peak heat transfer coefficient, h

TraditionalForm[(Subscript[h, 1])=((2 (Subscript[λ, s]) (Subscript[n, s,1]) (Subscript[a, s,1]))/(((1-((Subscript[a, s,1])/(Subscript[b, s]))))^(1.5`)))];

h(Y)=((8 (Subscript[λ, 1]) (Subscript[λ, 2]) ((((Sqrt[2 π]) Y (erf((Y/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0]))))-1))/(Subscript[σ, 0]))+2 (E^(-((Y^2)/(2 (Subscript[σ, 0]^2)))))) erfc((Y/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0])))))/((π^2) ((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2])) (Subscript[L, 0]) ϵ ((((1/2) (-(((Sqrt[2 π]) Y (erf((Y/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0]))))-1))/(Subscript[σ, 0]))-2 (E^(-((Y^2)/(2 (Subscript[σ, 0]^2))))))+1))^(1.5`))));

Plot peak heat transfer coefficient, h as a function of air gap width Y

hplot1=Plot[((8 (Subscript[λ, 1]) (Subscript[λ, 2]) ((((Sqrt[2 π]) Y (erf((Y/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0]))))-1))/(Subscript[σ, 0]))+2 (E^(-((Y^2)/(2 (Subscript[σ, 0]^2)))))) erfc((Y/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0])))))/((π^2) ((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2])) (Subscript[L, 0]) ϵ ((((1/2) (-(((Sqrt[2 π]) Y (erf((Y/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0]))))-1))/(Subscript[σ, 0]))-2 (E^(-((Y^2)/(2 (Subscript[σ, 0]^2))))))+1))^(1.5`))))/.{(Subscript[λ, 1])-> 29, (Subscript[λ, 2])->70, (Subscript[σ, 0])->0.578*^-6, ϵ-> 1.5, (Subscript[L, 0])-> 128.5*^-6},{Y,0,0.5*^-6},PlotStyle->Green];

Show[hplot1 ,PlotRange-> Automatic]

Peak heat transfer coefficient h using values by Hamasaiid (without capillary pressure)

(Subscript[h, 1])=((2 (Subscript[λ, s]) (Subscript[n, s,1]) (Subscript[a, s,1]))/(((1-((Subscript[a, s,1])/(Subscript[b, s]))))^(1.5`)))/.{(Subscript[λ, 1])-> 29, (Subscript[λ, 2])->70, (Subscript[σ, 0])->0.578*^-6, ϵ-> 1.5, (Subscript[L, 0])-> 128.5*^-6, Y-> 0.164*^-6}

Calculate initial air gap thickness (Subscript[Y, 0])

Quit[]

Ideal gas law for air thickness

((Subscript[P, 1])-(Subscript[P, γ]))(Subscript[V, 1])/(Subscript[T, 1])==(Subscript[P, 0])(Subscript[V, 0])/(Subscript[T, 0])

Re-initialize slopes

(Subscript[m, 1])=((2(Sqrt[(2/π)]) (Subscript[σ, 0]))/(Subscript[L, 0]));

Re-initialize distribution functions

(Subscript[ϕ, 1])=2(((E^(-((((y))^2)/(2((((Subscript[σ, 0])))^2))))) )/((Sqrt[2 π]) (Subscript[σ, 0])));

Initial volume for cone-shaped air pocket, (Subscript[V, 0])

(Subscript[V, 0,1])=Simplify[Integrate[{1/3*Pi/(Subscript[m, 1])^2 *(Subscript[ϕ, 1])*y^3},{y,0,Infinity}],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Final volume for cone-shaped air pocket, (Subscript[V, 1])

(Subscript[V, 1,1])=1/3*Pi*(Subscript[Y, 0,1])^3/(Subscript[m, 1])^2

Solve initial air layer thickness, (Subscript[Y, 0])

Simplify[Solve[((Subscript[P, 1])-(Subscript[P, γ]))/(Subscript[T, 1])* (((π^2) (Subscript[L, 0]^2) (Subscript[Y, 0,1]^3))/(24 (Subscript[σ, 0]^2)))==(((Subscript[P, 0]) (Subscript[V, 0,1]))/(Subscript[T, 0])),{(Subscript[Y, 0,1])}]]

(Subscript[Y, 0,1])=(((Sqrt[2]) (Subscript[P, 0]^(1/3)) (Subscript[σ, 0]^(1/3)))/((π^(1/6)) (((((((Subscript[P, 1])-(Subscript[P, γ])) (Subscript[T, 0]))/((Subscript[T, 1]) (Subscript[σ, 0]^2)))))^(1/3))))

Determine (Subscript[Y, t]), Y as a function of time

Quit[]

Fitting coefficient, (Subscript[C, 0])

(Subscript[C, 0,1])=(Subscript[V, al,1])*(Subscript[n, s,1])*1/2

Volume of aluminum inside asperities, (Subscript[V, al])

(Subscript[V, al,1])=Simplify[1/3*Pi*1/((Subscript[m, 1]))^2*Integrate[(Subscript[ϕ, 1])*y^3,{y,0,Infinity}]-1/3*Pi*((Subscript[Y, 0,1])/(Subscript[m, 1]))^2*Integrate[(Subscript[ϕ, 1])*y,{y,0,(Subscript[Y, 0,1])}],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}]

Time dependent air gap thickness, (Subscript[Y, t])

(Subscript[Y, t,1])=(Subscript[Y, 0,1])+2*(Subscript[C, 0,1])*(Subscript[h, 1])*((Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3]))/(ρ*L*S)*t

Determine h as a function of time

Quit[]

Calculate relevant quantities

(Subscript[ϕ, 1])=2(((E^(-((((y))^2)/(2((((Subscript[σ, 0])))^2))))) )/((Sqrt[2 π]) (Subscript[σ, 0])));
(Subscript[Y, 0,1])=(((Sqrt[2]) (Subscript[P, 0]^(1/3)) (Subscript[σ, 0]^(1/3)))/((π^(1/6)) (((((((Subscript[P, 1])-(Subscript[P, γ])) (Subscript[T, 0]))/((Subscript[T, 1]) (Subscript[σ, 0]^2)))))^(1/3))));
(Subscript[C, 0,1])=(Subscript[V, al,1])*(Subscript[n, s,1])*1/2;
(Subscript[V, al,1])=Simplify[1/3*Pi*1/((Subscript[m, 1]))^2*Integrate[(Subscript[ϕ, 1])*y^3,{y,0,Infinity}]-1/3*Pi*((Subscript[Y, 0,1])/(Subscript[m, 1]))^2*Integrate[(Subscript[ϕ, 1])*y,{y,0,(Subscript[Y, 0,1])}],{(Subscript[σ, 0])>0,(Subscript[σ, 0])∈Reals}];
(Subscript[Y, t,1])=(Subscript[Y, 0,1])+2*(Subscript[C, 0,1])*(Subscript[h, 1])*((Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3]))/(ρ*L*S)*t;
(Subscript[a, t,1])=(1/4) (Subscript[L, 0]) (2 (E^(-(((Subscript[Y, t,1])^2)/(2 (Subscript[σ, 0]^2)))))+(((Sqrt[2 π]) (Subscript[Y, t,1])(-1+Erf[((Subscript[Y, t,1])/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0])))]))/(Subscript[σ, 0])));
(Subscript[n, t,1])=((8 Erfc[((Subscript[Y, t,1])/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0])))])/((π^2) ϵ (Subscript[L, 0]^2)));
(Subscript[h, t,1])=((2 (Subscript[λ, s]) (Subscript[n, t,1]) (Subscript[a, t,1]))/(((1-((Subscript[a, t,1])/(Subscript[b, s]))))^(1.5`)));
(Subscript[a, s,1])=(1/4) (Subscript[L, 0]) (2 (E^(-(((Subscript[Y, 0,1])^2)/(2 (Subscript[σ, 0]^2)))))+(((Sqrt[2 π]) (Subscript[Y, 0,1]) (-1+Erf[((Subscript[Y, 0,1])/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0])))]))/(Subscript[σ, 0])));
(Subscript[n, s,1])=((8 Erfc[((Subscript[Y, 0,1])/((Sqrt[2]) (Subscript[σ, 0])))])/((π^2) ϵ (Subscript[L, 0]^2)));
(Subscript[h, 1])=((2 (Subscript[λ, s]) (Subscript[n, s,1]) (Subscript[a, s,1]))/(((1-((Subscript[a, s,1])/(Subscript[b, s]))))^(1.5`)));
(Subscript[λ, s])=2*(Subscript[λ, 1])*(Subscript[λ, 2])/((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2]));
(Subscript[b, s])=(Subscript[L, 0])/2;
(Subscript[m, 1])=((2(Sqrt[(2/π)]) (Subscript[σ, 0]))/(Subscript[L, 0]));

Hamasaiid model for time-evolution of Al-alloy IHTC

Plot[((2 (Subscript[λ, s]) (Subscript[n, t,1]) (Subscript[a, t,1]))/(((1-((Subscript[a, t,1])/(Subscript[b, s]))))^(1.5`)))/.{ (Subscript[σ, 0])->0.578*^-6, (Subscript[L, 0])-> 128.7*^-6,  (Subscript[λ, 1])-> 29, (Subscript[λ, 2])->109, ϵ-> 1.5, (Subscript[P, γ])-> 0.87*26*^6,  (Subscript[P, 1 ])->26*^6, (Subscript[P, 0])->1.013*^5,  (Subscript[T, 0])->300, (Subscript[T, 1]) -> 860, (Subscript[T, 2])->853, (Subscript[T, 3])->453,ρ->2810,  S->4*^-3, L-> 389*^3},{t,0,2},PlotStyle->Green, PlotRange -> Full, AxesLabel->{"time (s)","IHTC (W/m^2K)"}]

Hamasaiid model for time evolution of Mg-alloy IHTC

Plot[Evaluate[((2 (Subscript[λ, s]) (Subscript[n, t,1]) (Subscript[a, t,1]))/(((1-((Subscript[a, t,1])/(Subscript[b, s]))))^(1.5`)))/.{ (Subscript[σ, 0])->0.578*^-6, (Subscript[L, 0])-> 128*^-6,  (Subscript[λ, 1])-> 29, (Subscript[λ, 2])->70, ϵ-> 1.5, (Subscript[P, γ])-> 0.87*26*^6,  (Subscript[P, 1 ])->26*^6, (Subscript[P, 0])->1.013*^5,  (Subscript[T, 0])->300, (Subscript[T, 1]) -> 860, (Subscript[T, 2])->853, (Subscript[T, 3])->453,ρ->1810,  S->4*^-3, L-> 370*^3}],{t,0,1.5},PlotStyle->Orange,  PlotRange -> Full,AxesLabel->{"time (s)","IHTC (W/m^2K)"}]

Estimate peak IHTC for Al

(Subscript[h, t,1])/.{ (Subscript[σ, 0])->0.578*^-6, (Subscript[L, 0])-> 128.7*^-6,  (Subscript[λ, 1])-> 29, (Subscript[λ, 2])->109, ϵ-> 1.5, (Subscript[P, γ])-> 0.87*26*^6,  (Subscript[P, 1 ])->26*^6, (Subscript[P, 0])->1.013*^5,  (Subscript[T, 0])->300, (Subscript[T, 1]) -> 860, (Subscript[T, 2])->853, (Subscript[T, 3])->453,ρ->2810,  S->4*^-3, L-> 389*^3, t-> 0}

Estimate peak IHTC for Mg

(Subscript[h, t,1])/.{ (Subscript[σ, 0])->0.578*^-6, (Subscript[L, 0])-> 128.5*^-6,  (Subscript[λ, 1])-> 29, (Subscript[λ, 2])->70, ϵ-> 1.5, (Subscript[P, γ])-> 0.87*26*^6,  (Subscript[P, 1 ])->26*^6, (Subscript[P, 0])->1.013*^5,  (Subscript[T, 0])->300, (Subscript[T, 1]) -> 860, (Subscript[T, 2])->853, (Subscript[T, 3])->453,ρ->1810,  S->4*^-3, L-> 370*^3, t-> 0}

Surface energy

Quit[]

Young’s Equation

(Subscript[γ, 1])*Cos[θ] = (Subscript[γ, 1])-(Subscript[γ, 12])

Capillary Force in notch (good wetting)

(Subscript[F, c])=2*(Subscript[γ, 1])*Sin[θ+ϕ]/((Subscript[r, 0])-x*Cot[ϕ])

Absolute values of capillary pressure model by Chao Yuan et al.

(Subscript[P, γ])=2*σ*Sin[θ+ϕ]/(Y*Cot[ϕ])/.{σ-> 0.9,ϕ-> ArcTan[((2 (Sqrt[(2/π)]) 0.578*^-6)/(128.7*^-6))], Y-> 3.5*^-7,(Subscript[σ, 0])->0.578*^-6, (Subscript[L, 0])-> 128.7*^-6}

Plot[2*σ*Sin[θ Degree+ϕ]/(Y*Cot[ϕ])/.{σ-> 1,ϕ-> ArcTan[((2 (Sqrt[(2/π)]) 0.578*^-6)/(128.7*^-6))], Y-> 3.5*^-7,(Subscript[σ, 0])->0.578*^-6, (Subscript[L, 0])-> 128.7*^-6},{θ,0,180},PlotStyle->Orange, PlotRange -> Automatic]

Water hammer pressure

Aluminum gate

P=ρ*c*V*Sin[x]/.{ρ-> 2810, c-> 3840, V-> 1.931, x-> 3.5°};
N[P]

Mercury gate

P=ρ*c*V*Sin[x]/.{ρ-> 1810, c-> 3357.19, V-> 2.867, x-> 3.5°}

Wave velocity aluminum

c=Evaluate[(E/ρ)^(1/2)/.{ρ-> 2800, E-> 41.3*^9}]//N

Wave velocity magnesium

c=Evaluate[(E/ρ)^(1/2)/.{ρ-> 1810, E-> 20.4*^9}]//N

Stagnation pressure

P=1/2*ρ*V^2/.{ρ-> 2570, V-> 4}